Linques Externos[]
- Harmonux 0.1.4 (Linux e Windows) - Análise Harmônica com gráfico - [1]
Determinação dos coeficientes de uma série trigonométrica[]
Suponhamos que a função f(x) de uma variável real independente x, definida no intervalo (-π, +π), possa ser representada por uma série trigonométrica, “uniformemente convergente” em todos os seus pontos de definição, isto é:
f(x) = a0/2 + ∑ (an cos nx + bn sen nx) (1) n = 1,2,3,...
As funções uniformes no intervalo (-π,+π) ou (0,2π), contínuas ou com número finito de descontinuidades finitas e que não tenham número infinito de máximos e mínimos no intervalo considerado podem ser desenvolvíveis em séries deste tipo. As funções encontradas em problemas práticos geralmente satisfazem estas condições. (Se x0 é um ponto de descontinuidade finita da função, a série dá para este ponto o valor médio.)
O cálculo do coeficiente an, do termo geral em cosseno, é obtido multiplicando-se ambos os membros de (1) por cos nx dx e integrando-se entre os limites –π e +π. Assim:
+π +π +π +π ∫ f(x) cos nx dx = a0/2. ∫ cos nx dx + an ∫ cos² nx dx + bn ∫ sen nx . cos nx dx -π -π -π -π = 0 + an.π + 0 = an.π
Logo:
+π an = (1/π).∫ f(x) cos nx dx -π
obs:
se m≠n sen mx cos nx = ½ [sen (m+n) x + sen (m-n) x] e, portanto, a integral indefinida será: - ½ [ (cos (m+n)x)/(m+n) + (cos (m-n)x)/(m-n)] o que permite constatar que a integral definida (-π,+π) é nula.
se m=n sem nx cos nx = ½ sen 2nx e a integral indefinida será -(1/2) (cos 2nx)/2n que é nula no intervalo (-π,+π).
Analogamente, multiplicando-se ambos os membros de (1) por sen nx dx e integrando-se, obtemos:
+π bn = (1/π).∫ f(x) sen nx dx -π
Numericamente estes termos podem ser calculados assim:
an = (1/π). Δx Σ (f(x).cos nx) n = 1,2,3,... bn = (1/π). Δx Σ (f(x).sen nx) n = 1,2,3,... onde: Δx = 2π/N (os intervalos Δx são iguais portanto, e em radianos) (1/π)Δx = Δx/π = (2π/N)/π = 2/N N = Número de intervalos correspondentes a um comprimento de onda.
Portanto:
an = (2/N). Σ (f(x).cos nx) n = 1,2,3,... bn = (2/N). Σ (f(x).sen nx) n = 1,2,3,...
obs. Os valores de xn são convertidos para radianos: xn = 2π.(fração de λ correspondente a xn) isto é: xn = 2π.( xn' - x0' )/( xm' - x0' ) onde x0' é o valor da variável independente, em qualquer unidade, em que começa um comprimento de onda e xm' aquele em que termina o comprimento de onda considerado.
De forma análoga se calcula os coeficientes bn, sendo que b0=0 pois sen 0 = 0.
Se a função é simétrica em relação ao eixo x, é dita "função ímpar" e não tem coeficientes de ordem par.
Exemplo: Determinar os coeficientes de Fourier até o harmônico (a3.cos(3x) + b3.sen(3x)) que se ajuste aos valores da tabela abaixo: ponto x f(x) Resposta: 1 1 1.2 a0/2 = +2.51428571428571 2 2 3.4 a1 = -0.533186343122966 3 3 2.7 a2 = -0.494652081939484 4 4 2.5 a3 = -0.286447289223281 5 5 3.0 b1 = +0.206342995932609 6 6 3.1 b2 = +0.634813339311466 7 7 1.7 b3 = +0.160820283827478 8 8 1.2 9 9 3.4 10 10 2.7 11 11 2.5 12 12 3.0 sol: obs: 0.897597901025655 = 2π/(8-1) é o fator de conversão dos valores de x para radianos. a0 = (2/(8-1)) * ( 1.2 + 3.4 + 2.7 + 2.5 + 3.0 + 3.1 + 1.7 ) = 5.02857142857142 a1 = (2/(8-1))*( 1.2*cos(0.897597901025655*1*(1-1)) + 3.4*cos(0.897597901025655*1*(2-1)) + 2.7*cos(0.897597901025655*1*(3-1)) + 2.5*cos(0.897597901025655*1*(4-1)) + 3.0*cos(0.897597901025655*1*(5-1)) + 3.1*cos(0.897597901025655*1*(6-1)) + 1.7*cos(0.897597901025655*1*(7-1)) ) a2 = (2/(8-1))*( 1.2*cos(0.897597901025655*2*(1-1)) + 3.4*cos(0.897597901025655*2*(2-1)) + 2.7*cos(0.897597901025655*2*(3-1)) + 2.5*cos(0.897597901025655*2*(4-1)) + 3.0*cos(0.897597901025655*2*(5-1)) + 3.1*cos(0.897597901025655*2*(6-1)) + 1.7*cos(0.897597901025655*2*(7-1)) ) a3 = (2/(8-1))*( 1.2*cos(0.897597901025655*3*(1-1)) + 3.4*cos(0.897597901025655*3*(2-1)) + 2.7*cos(0.897597901025655*3*(3-1)) + 2.5*cos(0.897597901025655*3*(4-1)) + 3.0*cos(0.897597901025655*3*(5-1)) + 3.1*cos(0.897597901025655*3*(6-1)) + 1.7*cos(0.897597901025655*3*(7-1)) ) b0 = 0 b1 = (2/(8-1))*( 1.2*sin(0.897597901025655*1*(1-1)) + 3.4*sin(0.897597901025655*1*(2-1)) + 2.7*sin(0.897597901025655*1*(3-1)) + 2.5*sin(0.897597901025655*1*(4-1)) + 3.0*sin(0.897597901025655*1*(5-1)) + 3.1*sin(0.897597901025655*1*(6-1)) + 1.7*sin(0.897597901025655*1*(7-1)) ) b2 = (2/(8-1))*( 1.2*sin(0.897597901025655*2*(1-1)) + 3.4*sin(0.897597901025655*2*(2-1)) + 2.7*sin(0.897597901025655*2*(3-1)) + 2.5*sin(0.897597901025655*2*(4-1)) + 3.0*sin(0.897597901025655*2*(5-1)) + 3.1*sin(0.897597901025655*2*(6-1)) + 1.7*sin(0.897597901025655*2*(7-1)) ) b3 = (2/(8-1))*( 1.2*sin(0.897597901025655*3*(1-1)) + 3.4*sin(0.897597901025655*3*(2-1)) + 2.7*sin(0.897597901025655*3*(3-1)) + 2.5*sin(0.897597901025655*3*(4-1)) + 3.0*sin(0.897597901025655*3*(5-1)) + 3.1*sin(0.897597901025655*3*(6-1)) + 1.7*sin(0.897597901025655*3*(7-1)) ) equação: f(x) = 2.51428571428571 + -0.533186343122966*cos(1*0.897597901025655*([x] - 1 ) ) +0.206342995932609*sin(1*0.897597901025655*([x] - 1 ) ) + -0.494652081939484*cos(2*0.897597901025655*([x] - 1 ) ) +0.634813339311466*sin(2*0.897597901025655*([x] - 1 ) ) + -0.286447289223281*cos(3*0.897597901025655*([x] - 1 ) ) +0.160820283827478*sin(3*0.897597901025655*([x] - 1 ) )
Bibliografia[]
- Matemática para a Engenharia, Homero Pinto Caputo, Ao Livro Técnico S.A., 1969